(Colégio Naval-2000/2001) A, B, C e D são vértices consecutivos de um quadrado e PAB é um triângulo eqüilátero, sendo
interno ao quadrado ABCD . Qual é a medida do ângulo PCB?
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado dá um quadrado
de lado igual e um triângulo equilátero
com
no interior do quadrado. Queremos calcular o ângulo
. O conteúdo envolve posição de pontos no plano e cálculo de ângulo entre vetores, que faremos via produto escalar.
Passo 2
Escolhemos um sistema de coordenadas de modo a simplificar. Seja
de modo que o quadrado tem lado de comprimento
.
Passo 3
Como
é equilátero com base
, o ponto
está acima de
e distante
do segmento. Logo
Passo 4
Definimos os vetores de vértice
até
e até
:
Passo 5
Pelo produto escalar,
As normas são
Calcula-se então
o que implica
.
Resposta
d)