(Colégio Naval-2000/2001) A, B, C e D são vértices consecutivos de um quadrado e PAB é um triângulo eqüilátero, sendo P interno ao quadrado ABCD . Qual é a medida do ângulo PCB?
a) 30^{\circ}
b) 45^{\circ}
c) 60^{\circ}
d) 75^{\circ}
e) 90^{\circ}

Passo 1

O enunciado dá um quadrado ABCD de lado igual e um triângulo equilátero PAB com P no interior do quadrado. Queremos calcular o ângulo \angle PCB. O conteúdo envolve posição de pontos no plano e cálculo de ângulo entre vetores, que faremos via produto escalar.

Passo 2

Escolhemos um sistema de coordenadas de modo a simplificar. Seja
A=(0,0),\quad B=(1,0),\quad C=(1,1),\quad D=(0,1),
de modo que o quadrado tem lado de comprimento 1.

Passo 3

Como PAB é equilátero com base AB, o ponto P está acima de AB e distante \tfrac{\sqrt{3}}{2} do segmento. Logo
P=\Bigl(\tfrac12,\;\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr).

Passo 4

Definimos os vetores de vértice C até P e até B:
\vec{CP}=P-C=\Bigl(\tfrac12-1,\;\tfrac{\sqrt3}{2}-1\Bigr)=\bigl(-\tfrac12,\;\tfrac{\sqrt3}{2}-1\bigr),
\vec{CB}=B-C=(1-1,\;0-1)=(0,\;-1).

Passo 5

Pelo produto escalar,
\vec{CP}\cdot\vec{CB} =\bigl(-\tfrac12\bigr)\cdot 0+\Bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}-1\Bigr)\cdot(-1) =1-\tfrac{\sqrt3}{2}.
As normas são
\|\vec{CP}\| =\sqrt{\bigl(-\tfrac12\bigr)^2+\Bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}-1\Bigr)^2} ,\quad \|\vec{CB}\|=1.
Calcula-se então
\cos\theta =\frac{\vec{CP}\cdot\vec{CB}}{\|\vec{CP}\|\;\|\vec{CB}\|} =\frac{1-\tfrac{\sqrt3}{2}}{\sqrt{\tfrac14+\bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}-1\bigr)^2}} \;\approx\;0,2588,
o que implica \theta\approx75^\circ.

Resposta

d) 75^\circ

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