(AFA-00) Se, no desenvolvimento do binômio (x+y)^{m+5}, ordenado segundo as potências decrescentes de x, o quociente entre os termos que ocupam as posições (m+3) e (m+1) é \frac{2}{3} y^{2} x^{-2}, entâo o valor de m é
a) par.
b) primo.
c) impar.
d) múltiplo de 3 .

Solução: Alternativa A

A posição ( m+3 ) ocorre para p=m+2 c a posição ( m+1 ) ocorre para p=m. Portanto:
\frac{T_{m+3}}{T_{m+1}}=\frac{\binom{m+5}{m+2} x^{(m+5)-(m+2)} y^{m+2}}{\binom{m+5}{m} x^{(m+5)-(m)} y^{m}}=\frac{\binom{m+5}{m+2}}{\binom{m+5}{m}} x^{-2} y^{2}
Entìo, podemos escrever que: \frac{2}{3}=\frac{\binom{m+5}{m+2}}{\binom{m+5}{m}} \Rightarrow 2\binom{m+5}{m}=3\binom{m+5}{m+2} \Rightarrow \frac{2 \cdot(m+5) \cdot(m+4) \cdot(m+3) \cdot(m+2) \cdot(m+1)}{120}=\frac{3 \cdot(m+5) \cdot(m+4) \cdot(m+3)}{6} \Rightarrow (m+2)(m+1)=30 \Rightarrow m^{2}+3 m-28=0 \Rightarrow(m+7)(m-4)=0 \Rightarrow \mathrm{m}=4 \Rightarrow \mathrm{mépar}é

Passo 1

O enunciado dá o desenvolvimento de (x+y)^{m+5} e pede m tal que o quociente entre o termo na posição (m+3) e o termo na posição (m+1) seja \tfrac{2}{3}y^{2}x^{-2}. Vamos usar a fórmula do termo geral do binômio:
T_{k}=\binom{m+5}{k-1}\,x^{(m+5)-(k-1)}\,y^{k-1}.

Passo 2

A posição m+3 corresponde a k-1=m+2 e a posição m+1 a k-1=m. Logo,
T_{m+3}=\binom{m+5}{m+2}x^{(m+5)-(m+2)}y^{m+2}, \quad T_{m+1}=\binom{m+5}{m}x^{(m+5)-m}y^{m}.
O quociente é
\frac{T_{m+3}}{T_{m+1}} =\frac{\binom{m+5}{m+2}}{\binom{m+5}{m}} \,x^{(m+5)-(m+2)-(m+5)+m}\,y^{m+2-m} =\frac{\binom{m+5}{m+2}}{\binom{m+5}{m}}\,x^{-2}y^{2}.

Passo 3

Igualando ao valor dado,
\frac{\binom{m+5}{m+2}}{\binom{m+5}{m}}=\frac{2}{3}.
Calculamos
\frac{\binom{m+5}{m+2}}{\binom{m+5}{m}} =\frac{\frac{(m+5)!}{(m+2)!\,3!}}{\frac{(m+5)!}{m!\,5!}} =\frac{5!}{3!}\,\frac{m!}{(m+2)!} =\frac{120}{6}\,\frac{1}{(m+2)(m+1)} =\frac{20}{(m+2)(m+1)}.
Logo,
\frac{20}{(m+2)(m+1)}=\frac{2}{3} \quad\Rightarrow\quad (m+2)(m+1)=30 \quad\Rightarrow\quad m^{2}+3m-28=0.
As raízes são m=4 ou m=-7, e como m deve ser não negativo, fica m=4.

Passo 4

O valor m=4 é um número par, logo a alternativa correta é par.

Resposta

(a)

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