Calcule o valor de S=\sum_{k=1}^{n} \frac{k^{3}-2 k^{2}-k+1}{(k+1)!}.

Passo 1

O enunciado pede o valor da soma
S=\sum_{k=1}^{n}\frac{k^{3}-2k^{2}-k+1}{(k+1)!}
e o conteúdo principal é usar soma telescópica envolvendo fatoriais. Vamos buscar uma função f(k) tal que
\frac{k^{3}-2k^{2}-k+1}{(k+1)!}=f(k)-f(k+1).

Passo 2

Postulamos um f(k) da forma
f(k)=\frac{ak^{2}+bk+c}{k!}.
Então
f(k)-f(k+1) =\frac{ak^{2}+bk+c}{k!}-\frac{a(k+1)^{2}+b(k+1)+c}{(k+1)!} =\frac{(ak^{2}+bk+c)(k+1)-\bigl[a(k+1)^{2}+b(k+1)+c\bigr]}{(k+1)!}.
O numerador dessa diferença é
a k^3 + b k^2 + (c-2a)k +(-a - b).

Passo 3

Para casar com k^3-2k^2-k+1 precisamos de:
a=1,\quad b=-2,\quad c-2a=-1\implies c=1,\quad -a-b=1\enspace,
o que de fato satisfaz todas as igualdades. Logo
f(k)=\frac{k^2-2k+1}{k!}=\frac{(k-1)^2}{k!}
e
\frac{k^{3}-2k^{2}-k+1}{(k+1)!}=f(k)-f(k+1).

Passo 4

A soma telescópica fica
S=\sum_{k=1}^n\bigl[f(k)-f(k+1)\bigr]=f(1)-f(n+1).

Passo 5

Calculando as “bordas”:
f(1)=\frac{(1-1)^2}{1!}=0, \quad f(n+1)=\frac{(n+1-1)^2}{(n+1)!}=\frac{n^2}{(n+1)!}.
Logo
S=f(1)-f(n+1)=0-\frac{n^2}{(n+1)!}=-\frac{n^2}{(n+1)!}.

Resposta

S=-\frac{n^2}{(n+1)!}.

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