(AFA-18) O menor dos possíveis coeficientes do termo em x^{8}, no desenvolvimento de \left(2+x^{2}+3 x^{3}\right)^{161} é igual a
a) 11240
b) 12420
c) 13440
d) 14720

Passo 1

O enunciado pede o menor dos coeficientes que surgem no termo em x^8 ao expandir
(2 + x^2 + 3x^3)^{161}.
O conteúdo aqui é expansão multinomial e a ideia é:
  1. Determinar todas as formas de obter potência x^8 somando potências de x^2 e x^3.
  2. Para cada solução (j,k) de 2j + 3k = 8, calcular o coeficiente parcial \binom{161}{\,i,j,k\,}\,2^i\,1^j\,3^k,onde i = 161 - j - k.
  3. Comparar esses coeficientes parciais e escolher o menor.

Passo 2

Resolvemos o diophantino em inteiros não negativos
2j + 3k = 8.
Testando k=0,1,2 vemos que as únicas soluções são
(j,k) = (4,0) \quad\text{e}\quad (j,k) = (1,2).
Em cada caso vem i = 161 - j - k, ou seja:
  • Para (j,k)=(4,0): i=161-4=157.
  • Para (j,k)=(1,2): i=161-1-2=158.

Passo 3

Escrevemos o coeficiente parcial correspondente a cada escolha:
  1. Para (i,j,k)=(157,4,0): C_1 = \binom{161}{157,4,0}\,2^{157}\,1^4\,3^0 = \frac{161!}{157!\,4!\,0!}\,2^{157}.
  2. Para (i,j,k)=(158,1,2): C_2 = \binom{161}{158,1,2}\,2^{158}\,1^1\,3^2 = \frac{161!}{158!\,1!\,2!}\,2^{158}\,3^2.

Passo 4

Simplificamos as multinomiais em fatores numéricos antes da potência de 2:
1.
\frac{161!}{157!\,4!} = \binom{161}{4} = \frac{161\cdot160\cdot159\cdot158}{4!} = 26964280.
Logo
C_1 = 26964280\,2^{157}.
\frac{161!}{158!\,1!\,2!} = \frac{161\cdot160\cdot159}{2} = 2047920,
e multiplicando por 3^2=9
2047920\cdot9 = 18431280,
de modo que
C_2 = 18431280\,2^{158}.

Passo 5

Para comparar C_1 e C_2 note que
C_2 = 18431280\,2^{158} = 2\bigl(18431280\bigr)\,2^{157} = 36862560\,2^{157},
enquanto
C_1 = 26964280\,2^{157}.
Como 26964280 < 36862560, conclui-se que o menor coeficiente parcial é
C_1 = 26964280\,2^{157}.

Resposta

\boxed{\frac{161!}{157!\,4!}\,2^{157}}

Exercícios de Livros Relacionados