(UECE-20) O termo independente de x no desenvolvimento binomial de
\left(x \cdot \sqrt[3]{x}+\frac{1}{x^{3}}\right)^{13} \text { é: }é
a) 725
b) 745
c) 715
d) 735

Passo 1

O enunciado pede o termo independente de x no desenvolvimento binomial de
\bigl(x\cdot\sqrt[3]{x} + \tfrac{1}{x^{3}}\bigr)^{13}.
O conteúdo aqui é a fórmula do binômio de Newton e o que precisamos é identificar o expoente de x em cada termo e escolher aquele que fica com expoente zero.

Passo 2

Primeiro, simplificamos a base:
x\cdot\sqrt[3]{x} = x^{1 + \frac13} = x^{\frac{4}{3}},
logo a expressão fica
\bigl(x^{\tfrac{4}{3}} + x^{-3}\bigr)^{13}.

Passo 3

Pela fórmula do binômio, o termo geral é
\binom{13}{k}\bigl(x^{\tfrac{4}{3}}\bigr)^{13-k}\bigl(x^{-3}\bigr)^{k} = \binom{13}{k}\,x^{\frac{4}{3}(13-k)-3k}.
O expoente de x nesse termo é
\frac{4}{3}(13-k) - 3k = \frac{52 - 4k - 9k}{3} = \frac{52 - 13k}{3}.

Passo 4

Para ser termo independente de x, queremos
\frac{52 - 13k}{3} = 0 \;\Longrightarrow\; 52 - 13k = 0 \;\Longrightarrow\; k = 4.

Passo 5

O coeficiente desse termo é
\binom{13}{4} = \frac{13\cdot12\cdot11\cdot10}{4\cdot3\cdot2\cdot1} = 715.

Resposta

c) 715

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