(Fuvest-05) No triângulo de Pascal
\mathrm{n}=0 1
\mathrm{n}=1 1 1
\mathrm{n}=2 1 2 1
\mathrm{n}=3 1 3 3 1
\mathrm{n}=4 1 4 6 4 1
a soma dos elementos da linha n com os da linha \mathrm{n}+1 é
a) n(n+1)
b) 2^{n} \cdot 2^{n+1}
c) 3 \cdot 2^{n}
d) 2 \cdot 2^{n+1}
e) 3^{n} \cdot 2^{n+1}

Passo 1

O enunciado mostra o triângulo de Pascal e pede a soma dos elementos da linha n com os da linha n+1. O conteúdo necessário é a propriedade que diz que a soma dos coeficientes binomiais numa mesma linha é uma potência de 2.

Passo 2

Em qualquer linha n do triângulo de Pascal vale
\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} = (1+1)^n = 2^n.

Passo 3

Portanto, a soma pedida é
\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} \;+\;\sum_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k} = 2^n + 2^{n+1}.

Passo 4

Fatorando o termo comum 2^n temos
2^n + 2^{n+1} = 2^n(1 + 2) = 3\cdot 2^n.
Entre as alternativas, isso corresponde à letra (c).

Resposta

(c) 3\cdot 2^n

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