Se o algarismo das centenas do produto a 5 cdot 164 é 9 , determine a (a representa um algarismo de nosso sistema de numeração).

Passo 1

O enunciado diz que o produto do número de dois algarismos a5 por 164 tem algarismo das centenas igual a 9. Precisamos achar o valor de a. O conteúdo aqui é valor posicional e extração de dígito em um produto.

Passo 2

Representamos a5 como
10a + 5
e escrevemos o produto
N = 164 times (10a + 5) = 1640a + 820

Passo 3

O algarismo das centenas de N é obtido olhando N módulo 1000 e dividindo o resultado inteiro por 100. Como
1640a equiv 640a pmod1000,
basta considerar
M = (640a + 820)bmod 1000
O algarismo das centenas de N é lfloor M/100rfloor.

Passo 4

Testando a=0,1,dots,9 e calculando M=640a+820 (e então Mbmod1000) obtemos:
a =0: M =820to mod 1000=820to centena =8
a =1: M =1460to mod 1000=460to centena =4
a =2: M =2100to mod 1000=100to centena =1
a =3: M =2740to mod 1000=740to centena =7
a =4: M =3380to mod 1000=380to centena =3
a =5: M =4020to mod 1000=20to centena =0
a =6: M =4660to mod 1000=660to centena =6
a =7: M =5300to mod 1000=300to centena =3
a =8: M =5940to mod 1000=940to centena =9
a =9: M =6580to mod 1000=580to centena =5

Passo 5

Só para a=8 o algarismo das centenas é 9.

Resposta

8

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