Se a soma de dois números naturais não nulos é um número primo, prove que esses números são primos entre si.
Passo 1
O enunciado diz que
e
são naturais não nulos tais que
onde
é primo. Queremos mostrar que
, ou seja, que
e
são primos entre si. Para isso, vamos usar propriedades básicas de divisibilidade e do máximo divisor comum.
Passo 2
Seja
. Por definição,
divide
e
divide
. Então, pela propriedade de divisibilidade,
Mas
, logo
Passo 3
Como
é primo, seus únicos divisores positivos são
e
propriamente. Portanto, a condição
força
Passo 4
Suponha, por absurdo, que
. Então
. Mas
é um natural estritamente menor que
, pois
e
implica
. A única forma de um número maior dividir um menor é o divisor ser igual ao próprio menor ou o menor ser zero, o que não ocorre aqui. Logo, não pode ser
.
Passo 5
Concluímos que a única alternativa é
isto é,
portanto
e
são primos entre si.
Resposta
Como
só pode ser
, segue que
e
são coprimos.