Se a soma de dois números naturais não nulos é um número primo, prove que esses números são primos entre si.

Passo 1

O enunciado diz que a e b são naturais não nulos tais que
a + b = p,
onde p é primo. Queremos mostrar que gcd(a,b)=1, ou seja, que a e b são primos entre si. Para isso, vamos usar propriedades básicas de divisibilidade e do máximo divisor comum.

Passo 2

Seja d = gcd(a,b). Por definição, d divide a e d divide b. Então, pela propriedade de divisibilidade,
d mid a e d mid b Longrightarrow d mid (a+b)
Mas a+b = p, logo
d mid p

Passo 3

Como p é primo, seus únicos divisores positivos são 1 e p propriamente. Portanto, a condição dmid p força
d = 1 ou d = p

Passo 4

Suponha, por absurdo, que d=p. Então pmid a. Mas a é um natural estritamente menor que p, pois a = p - b e b>=1 implica a < p. A única forma de um número maior dividir um menor é o divisor ser igual ao próprio menor ou o menor ser zero, o que não ocorre aqui. Logo, não pode ser d=p.

Passo 5

Concluímos que a única alternativa é
d = 1,
isto é,
gcd(a,b)=1,
portanto a e b são primos entre si.

Resposta

Como d=gcd(a,b) só pode ser 1, segue que a e b são coprimos.

Exercícios de Livros Relacionados