Com os algarismos 1,2,3,4 e 5 e sem repetição, pode-se escrever x números maiores que 2500. Qual é o valor de x ?

Passo 1

O enunciado pede: com os algarismos 1,2,3,4,5 e sem repetição, quantos números maiores que 2500 podemos formar? O conteúdo envolvido é contagem de permutações sem repetição. Notamos que números de até 3 dígitos são no máximo 543<2500, logo só precisamos considerar números de 4 e 5 dígitos.

Passo 2

Para formar números de 4 dígitos abcd>2500, analisamos o dígito das unidades de milhar a:
  • Se ain3,4,5, não há outra restrição, e os demais três dígitos são escolhidos sem repetição entre os 4 dígitos restantes, em P(4,3)=24 maneiras. Isso dá
3times24=72
  • Se a=2, então precisamos de 2bcd>2500, ou seja, bcd>=500. Como só dispomos de dígitos até 5, isso exige b=5. Com a=2 e b=5, restam 3 dígitos para c e d, escolhidos em P(3,2)=6 maneiras.
    Portanto, há 72+6=78 números de 4 dígitos.

Passo 3

Para números de 5 dígitos usamos todos os algarismos sem repetição, o que dá
P(5,5)=5!=120
números, todos obviamente maiores que 2500.

Passo 4

Somando as quantidades de 4 e de 5 dígitos, obtemos
x=78+120=198

Resposta

198

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