Qual é o número m de objetos de uma coleção que satisfaz a igualdade Am, 3-Cm, 3=25 cdot Cm, m-1.

Passo 1

O enunciado pede o valor de m que satisfaz
Am,3 - Cm,3 = 25 cdot Cm,m-1,
onde usamos arranjos e combinações. Vamos aplicar as fórmulas de contagem para transformar tudo em expressões em função de m.

Passo 2

Lembrando as definições:
Am,3 = m!(m-3)!, Cm,3 = m!3!,(m-3)!, Cm,m-1 = binommm-1 = m
Substituindo na igualdade dada, obtemos
m!(m-3)! - m!3!,(m-3)! = 25,m

Passo 3

Fatorando o termo comum dfracm!(m-3)! = m(m-1)(m-2) e usando 3! = 6, a diferença vira
m(m-1)(m-2) - m(m-1)(m-2)6 = 56,m(m-1)(m-2)
Logo a equação é
56,m(m-1)(m-2) = 25,m

Passo 4

Como mneq0, podemos dividir ambos os lados por m, chegando em
56,(m-1)(m-2) = 25 Longrightarrow (m-1)(m-2) = 25cdot65 = 30
Expandindo, obtemos
m^2 - 3m + 2 - 30 = 0 Longrightarrow m^2 - 3m - 28 = 0

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática
m = 3 pm raiz9 + 1122 = 3 pm 112,
as raízes são m=7 e m=-4. Como m é número de objetos, descartamos a solução negativa e ficamos com m=7. Uma rápida verificação confirma:
A7,3-C7,3=210-35=175 e 25cdot C7,6=25cdot7=175

Resposta

m=7.

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