Um grupo consta de 20 pessoas, das quais 5 matemáticos. De quantas formas podemos formar comissões de 10 pessoas de modo que:
pelo menos um membro da comissão seja matemático?

Passo 1

O enunciado diz que há um grupo de 20 pessoas, das quais 5 são matemáticos, e queremos formar comissões de 10 pessoas de modo que haja pelo menos um matemático na comissão. O conteúdo usado será contagem de combinações e o princípio do complentar (“total menos casos indesejados”).

Passo 2

Calcular o número total de comissões de 10 pessoas, sem restrição. Isso é dado por
binom2010

Passo 3

Calcular o número de comissões de 10 pessoas sem nenhum matemático (casos que queremos excluir). Nessas comissões todas as 10 pessoas vêm dos 15 não-matemáticos, logo
binom1510

Passo 4

Aplicar o princípio do complementar: o número de comissões com pelo menos um matemático é
binom2010 ;-;binom1510

Resposta

binom2010 - binom1510 = 184756 - 3003 = 181753

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