(UF-PI) Analise as afirmativas abaixo e assinale V (verdadeira) ou F (falsa).
  1. raiz2^32 3^34+2^36 3^32 in N
  2. raiz3raiz4+2 raiz3+raiz4-2 raiz3 notin Z
  3. tg(10^circ) tg(20^circ) tg(30^circ) tg(40^circ) tg(50^circ) tg(60^circ) tg(70^circ) tg(80^circ) in Q
  4. (1+i)^8 notin R, onde i^2=-1

Passo 1

O enunciado apresenta quatro afirmações envolvendo operações com raízes, racionalização de expressão, produto de funções trigonométricas e potências de número complexo. Vamos verificar cada uma delas usando:
  • Fatoração e propriedades de radicais.
  • Racionalização de denominador.
  • Identidade para produto de tangentes de ângulos equiespaçados.
  • Forma polar de número complexo.

Passo 2

Analisando a afirmativa 1:
raiz2^323^34+2^363^32
Observe que podemos fatorar 2^323^32:
2^323^34+2^363^32 =2^323^32l(3^2+2^4r) =2^323^32l(9+16r) =2^323^32cdot25
Logo,
raiz2^323^34+2^363^32 =raiz2^323^32cdot25 =2^163^16cdot5inN
Portanto, a afirmação 1 é verdadeira.

Passo 3

Analisando a afirmativa 2:
raiz3raiz4+2raiz3+raiz4-2raiz3
Notamos que
4+2raiz3=(raiz3+1)^2, 4-2raiz3=(raiz3-1)^2
Assim,
raiz4+2raiz3=raiz3+1, raiz4-2raiz3=raiz3-1,
e o denominador fica
(raiz3+1)+(raiz3-1)=2raiz3
Logo a expressão vale
raiz32raiz3=12,
que não é inteiro. Portanto, afirmar que ela não pertence a Z é correto, ou seja, a afirmação 2 é verdadeira.

Passo 4

Analisando a afirmativa 3:
prodk=1^8tanl(kcdot10^circr) =tan(10^circ)tan(20^circ)dotstan(80^circ)
Usamos a identidade geral
prodk=1^n-1tan!l(tfrackpi2nr)=raizn
Aqui 10^circ=tfracpi18, logo 2n=18 e n=9. Então
prodk=1^8tan!l(kpi/18r)=raiz9=3inQ
Portanto, a afirmação 3 é verdadeira.

Passo 5

Analisando a afirmativa 4:
(1+i)^8, i^2=-1
Escrevemos 1+i em forma polar:
1+i=raiz2,e^ipi/4
Logo
(1+i)^8=(raiz2)^8,e^i8(pi/4) =2^4,e^i2pi =16cdot1=16inR
Dessa forma, dizer que (1+i)^8notinR é falso.

Resposta

  1. V
  2. V
  3. V
  4. F

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