O ângulo externo de um polígono regular é igual ao dobro do seu ângulo interno. Determine o número de diagonais desse polígono.

Passo 1

O enunciado pede o número de diagonais de um polígono regular cujo ângulo externo é o dobro do ângulo interno. O conteúdo aqui é geometria de polígonos regulares, em que usamos:
  • fórmula do ângulo interno alphai = (n-2),180^circn, de um alphae = 180^circ - alphai, -gono regular:
D = n(n-3)2
  • relação entre ângulo externo e interno:
  • fórmula do número de diagonais :

Passo 2

Impondo a condição 180^circ - alphai = 2,alphai , escrevemos
180^circ - (n-2),180^circn = 2;(n-2),180^circn
e substituímos :

Passo 3

Multiplicando tudo por 180n - 180(n-2) = 2cdot180(n-2) para eliminar denominação:
180n -180n +360 =360n -720
360 =360n -720 Longrightarrow 360n =1080 Longrightarrow n =3

Passo 4

Para D = 3,(3-3)2 = 0 (triângulo), o número de diagonais é

Resposta

O polígono é um triângulo e tem diagonais.

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