A área lateral de um cilindro reto é 48 pi cm^2 e sua altura é 8 cm . Sabendo que o cilindro está inscrito em uma esfera, determine o raio da esfera e a relação entre o volume do cilindro e o volume da esfera. Calcule ainda a relação entre o volume do cilindro equilátero inscrito nessa mesma esfera e o volume do cilindro considerado.

Passo 1

O enunciado dá um cilindro reto cuja área lateral é 48pi cm^2 e altura 8 cm. Esse cilindro está inscrito numa esfera. Precisamos de:
  1. raio do cilindro (da base)
  2. raio da esfera que o contém
  3. razão entre os volumes do cilindro e da esfera
  4. razão entre o volume de um cilindro equilátero (isto é, com h=2r) inscrito na mesma esfera e o volume do cilindro dado
    Para isso usaremos as fórmulas de área lateral de cilindro, volume de cilindro e volume de esfera, além da condição de inscrição R^2=r^2+(h/2)^2.

Passo 2

Da área lateral do cilindro
Arm lat=2pi r h=48pi
e como h=8, temos
2pi rcdot8=48pi Longrightarrow 16pi r=48pi Longrightarrow r=3 cm

Passo 3

Para o cilindro inscrito, o raio da esfera satisfaz
R^2=r^2+l(tfrac h2r)^2 =3^2+4^2 =9+16 =25 Longrightarrow R=5 cm

Passo 4

Volume do cilindro:
Vrm cil=pi r^2 h =picdot3^2cdot8 =72pi
Volume da esfera:
Vrm sph=tfrac43pi R^3 =tfrac43picdot5^3 =tfrac5003pi
Razão
Vrm cilVrm sph =72pitfrac5003pi =72cdot3500 =216500 =54125

Passo 5

Agora o cilindro equilátero inscrito na mesma esfera tem hrm eq=2rrm eq e obedece
R^2=rrm eq^2+l(tfrachrm eq2r)^2 =rrm eq^2+rrm eq^2 =2rrm eq^2 Longrightarrow rrm eq=Rraiz2=5raiz2,
hrm eq=2rrm eq=5raiz2
Seu volume é
Vrm eq =pi,rrm eq^2,hrm eq =pi;l(tfrac5raiz2r)^2;5raiz2 =pi;252;5raiz2 =125raiz22,pi
Razão entre esse volume e o do cilindro original:
Vrm eqVrm cil =tfrac125raiz22,pi72pi =125raiz2144

Resposta

Raio da esfera: 5 cm.
Vrm cilVrm sph=tfrac54125
Vrm eqVrm cil=125raiz2144

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