Calcule o perímetro P e a área S da seção produzida num octaedro regular circunscrito a uma esfera de
de diâmetro pelo plano que contém o centro dessa esfera e que é paralelo a uma das faces do octaedro.
Passo 1
O enunciado pede o perímetro
e a área
da seção que um plano, passando pelo centro da esfera inscrita e paralelo a uma face, faz num octaedro regular. Sabemos que essa esfera tem diâmetro
, ou seja, raio
. Para resolver, vamos (1) relacionar o raio da esfera com a aresta
do octaedro; (2) identificar que a seção é um hexágono regular e determinar sua aresta
; (3) calcular
e
.
Passo 2
Em todo octaedro regular de aresta
a esfera inscrita (que tangencia cada face) tem raio
Aqui
, logo
Passo 3
Podemos colocar o octaedro centrado na origem com vértices
onde
é tal que a aresta vale
. Como a distância entre
e
é
, exigimos
, ou seja
. O plano paralelo a uma face típica
e que passa pelo centro tem equação
Ele corta 6 arestas do octaedro formando um hexágono regular. Pode-se verificar que a distância entre dois vértices consecutivos desse hexágono é
Passo 4
O perímetro do hexágono de aresta
é
Passo 5
A área de um hexágono regular de aresta
é