Calcule o perímetro P e a área S da seção produzida num octaedro regular circunscrito a uma esfera de raiz6 dm de diâmetro pelo plano que contém o centro dessa esfera e que é paralelo a uma das faces do octaedro.

Passo 1

O enunciado pede o perímetro P e a área S da seção que um plano, passando pelo centro da esfera inscrita e paralelo a uma face, faz num octaedro regular. Sabemos que essa esfera tem diâmetro raiz6,dm, ou seja, raio r=tfracraiz62,dm. Para resolver, vamos (1) relacionar o raio da esfera com a aresta a do octaedro; (2) identificar que a seção é um hexágono regular e determinar sua aresta l; (3) calcular P e S.

Passo 2

Em todo octaedro regular de aresta a a esfera inscrita (que tangencia cada face) tem raio
r = araiz6
Aqui r=tfracraiz62, logo
a = rraiz6 = raiz62,raiz6 = 62 = 3 dm

Passo 3

Podemos colocar o octaedro centrado na origem com vértices
(pm d,0,0),;(0,pm d,0),;(0,0,pm d),
onde d é tal que a aresta vale a. Como a distância entre (d,0,0) e (0,d,0) é raiz2,d, exigimos raiz2,d=a, ou seja d=a/raiz2. O plano paralelo a uma face típica x+y+z=tfrac3raiz2 e que passa pelo centro tem equação
x+y+z=0
Ele corta 6 arestas do octaedro formando um hexágono regular. Pode-se verificar que a distância entre dois vértices consecutivos desse hexágono é
l = draiz2 = a/raiz2raiz2 = a2 = 32 dm

Passo 4

O perímetro do hexágono de aresta l é
P = 6,l = 6cdot32 = 9 dm

Passo 5

A área de um hexágono regular de aresta l é
S = 3raiz32,l^2 = 3raiz32,l(32r)^2 = 3raiz32,94 = 27raiz38 dm^2

Resposta

P = 9 dm
S = 27raiz38 dm^2

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