Determine o volume do cilindro equilátero inscrito num cone de revolução, sendo 24 cm a altura do cone e 12 cm o raio da base do cone.

Passo 1

O enunciado pede o volume de um cilindro “equilátero” inscrito num cone de altura 24,cm e raio da base 12,cm. Num cilindro equilátero a altura é igual ao diâmetro da base, ou seja, se chamarmos de r o raio da base, a altura vale h=2r. Vamos usar semelhança de triângulos entre o triângulo gerador do cone e o triângulo gerador da parte superior do cilindro para relacionar r e h.

Passo 2

Se apoiamos o cilindro na base do cone, sua face superior fica a uma altura h do vértice da base. A que distância fica do vértice do cone? Como o cone tem altura total 24,cm, a distância do vértice ao plano superior do cilindro é 24 - h. Pelo ângulo do cone, a semelhança dá:
r24-h ;=;1224
Logo,
r ;=;12;24-h24;=;12 - h2

Passo 3

Como o cilindro é equilátero, vale
h ;=;2r
Substituindo r=12 - tfrach2 em h=2r, obtemos
h ;=;2l(12 - h2r) Longrightarrow h = 24 - h Longrightarrow 2h = 24 Longrightarrow h = 12 cm
Então r = tfrach2 = 6,cm.

Passo 4

O volume do cilindro é
V = pi r^2 h = pi cdot 6^2 cdot 12 = 432pi;cm^3

Resposta

O volume do cilindro equilátero inscrito é 432pi,cm ^3.

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