A área total de um cone reto é 96 pi cm^2 e o raio da base mede 6 cm . Determine o volume do cone e da pirâmide de base quadrada inscrita no cone.

Passo 1

O enunciado diz que a área total de um cone reto é 96pi,cm^2 e que o raio da base vale 6 cm. Vamos encontrar primeiro as dimensões do cone (altura e geratriz) usando a fórmula da área total e, em seguida, calcular o volume do cone. Depois, consideraremos a pirâmide de base quadrada cuja base é um quadrado inscrito na circunferência da base do cone e cujo vértice coincide com o vértice do cone, e acharemos o volume dessa pirâmide.

Passo 2

A área total de um cone é
At ;=;pi r^2 ;+;pi r s,
onde r é o raio da base e s é a geratriz. Substituindo At=96pi e r=6, obtemos
96pi = picdot6^2 + picdot6,s Longrightarrow 96pi = 36pi + 6pi s Longrightarrow 6pi s = 60pi Longrightarrow s = 10 cm
Como a geratriz, o raio e a altura ,h formam um triângulo retângulo, aplicamos o teorema de Pitágoras:
h = raizs^2 - r^2 = raiz10^2 - 6^2 = raiz100 - 36 = 8 cm

Passo 3

O volume do cone é dado por
Vcone = 13,pi r^2 h
Substituindo r=6 e h=8,
Vcone = 13,picdot6^2cdot8 = 13,picdot36cdot8 = 96pi;cm^3

Passo 4

Para a pirâmide de base quadrada inscrita na base do cone, coloque o quadrado no plano da base de modo que seus quatro vértices estejam na circunferência de raio 6. A diagonal do quadrado então vale 2r=12, de onde o lado do quadrado é
a = 12raiz2 = 6raiz2 cm
e a área da base quadrada é
Abase = a^2 = (6raiz2)^2 = 72;cm^2
Como o vértice da pirâmide coincide com o vértice do cone, a altura da pirâmide também é h=8 cm. Logo, o volume da pirâmide é
Vpirâmide = 13,Abase,h = 13times72times8 = 192;cm^3 â

Resposta

O volume do cone é 96pi;cm^3 e o volume da pirâmide de base quadrada inscrita é 192;cm^3.

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