A área total de um cone reto é
e o raio da base mede 6 cm . Determine o volume do cone e da pirâmide de base quadrada inscrita no cone.
Passo 1
O enunciado diz que a área total de um cone reto é
e que o raio da base vale
cm. Vamos encontrar primeiro as dimensões do cone (altura e geratriz) usando a fórmula da área total e, em seguida, calcular o volume do cone. Depois, consideraremos a pirâmide de base quadrada cuja base é um quadrado inscrito na circunferência da base do cone e cujo vértice coincide com o vértice do cone, e acharemos o volume dessa pirâmide.
Passo 2
A área total de um cone é
onde
é o raio da base e
é a geratriz. Substituindo
e
, obtemos
Como a geratriz, o raio e a altura
formam um triângulo retângulo, aplicamos o teorema de Pitágoras:
Passo 3
O volume do cone é dado por
Substituindo
e
,
Passo 4
Para a pirâmide de base quadrada inscrita na base do cone, coloque o quadrado no plano da base de modo que seus quatro vértices estejam na circunferência de raio
. A diagonal do quadrado então vale
, de onde o lado do quadrado é
e a área da base quadrada é
Como o vértice da pirâmide coincide com o vértice do cone, a altura da pirâmide também é
cm. Logo, o volume da pirâmide é
Resposta
O volume do cone é
e o volume da pirâmide de base quadrada inscrita é
.