Se a aresta de um cubo ẹ́ x, exprima seu volume, a área de sua superfície e sua diagonal como funções de x.
Todos os problemas seguintes envolvem Geometria. Ao trabalhar com tais problemas, faça sempre uma figura e use essa figura como fonte de idéias.

Passo 1

O enunciado diz que temos um cubo de aresta ,x e pede três funções: o volume V(x), a área de sua superfície A(x) e sua diagonal espacial d(x). O conteúdo aqui é Geometria Espacial, usando fórmula de volume e área de poliedros regulares e o Teorema de Pitágoras em 3D.

Passo 2

Para o volume de um cubo, lembramos que é a área da base (um quadrado de lado ,x) vezes a altura (que também vale ,x). Logo,
V(x) = x^2 times x = x^3

Passo 3

A superfície do cubo é formada por 6 faces, cada uma um quadrado de lado ,x e área ,x^2. Somando as 6 faces,
A(x) = 6 times x^2 = 6x^2

Passo 4

Para a diagonal espacial d, primeiro encontramos a diagonal de uma face:
dface = raizx^2 + x^2 = xraiz2
Em seguida, aplicamos Pitágoras no “triângulo” formado por essa diagonal de face e a aresta perpendicular a ela:
d(x) = raizl(xraiz2r)^2 + x^2 = raiz2x^2 + x^2 = xraiz3

Resposta

V(x) = x^3,
A(x) = 6x^2,
d(x) = xraiz3.

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