Se um triângulo eqüilátero tem lado x, exprima sua área como função de x.
Todos os problemas seguintes envolvem Geometria. Ao trabalhar com tais problemas, faça sempre uma figura e use essa figura como fonte de idéias.

Passo 1

O enunciado pede a área de um triângulo equilátero de lado x. Para resolver, vamos usar a definição de área de triângulo a partir da base e da altura, e calcular essa altura traçando a altura num triângulo equilátero (dividindo-o em dois triângulos retângulos congruentes).

Passo 2

Desenhando o triângulo equilátero ABC com AB=BC=CA=x e traçando a altura AD de A sobre BC, obtemos dois triângulos retângulos congruentes, cada um com hipotenusa x e catetos AD=h (altura) e BD=tfracx2. Aplicando o Teorema de Pitágoras:
h^2 + l(x2r)^2 = x^2
Logo,
h = raizx^2 - l(x2r)^2 = raizx^2 - x^24 = raiz32,x

Passo 3

A área de qualquer triângulo é dada por tfracbasetimesa<ura2. Aqui a base é BC=x e a altura é AD=h=tfracraiz32x, então
A(x) = x cdot raiz32x2 = raiz34,x^2

Resposta

A(x) = raiz34,x^2

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