Se a aresta de um cubo mede 100 cm , encontre a distância de um vértice do cubo à sua diagonal.

VI. Razão entre paralelepípedos retângulos

  1. A razão entre dois paralelepípedos retângulos de bases congruentes é igual à razão entre as alturas.
Sejam P(a, b, h1) e P(a, b, h2) os paralelepípedos em que a, b, h1 e a, b, h2 são as respectivas dimensões.
Trata-se de demonstrar que: P(a, b, h1)P(a, b, h2)=h1h2.

Passo 1

O enunciado pede a distância de um vértice de um cubo até uma de suas diagonais espaciais. O conteúdo envolvido é geometria no espaço, usando coordenadas, produto vetorial e a fórmula da distância de um ponto a uma reta em R^3:
d = |,utimesv||v|,
onde u é um vetor que vai de um ponto da reta até o ponto dado, e v é o vetor diretor da reta.

Passo 2

Colocamos o cubo de aresta a=100 cm no sistema de coordenadas de modo que um vértice no qual vamos medir a distância seja
;P=(100,100,0),
e a reta — uma diagonal espacial — passe pelos pontos
;O=(0,0,0) e ;G=(100,100,100).

Passo 3

O vetor diretor da reta (diagonal) é
v = OG = (100,100,100),
e o vetor que vai de O até o ponto P é
u = OP = (100,100,0)

Passo 4

Calculamos o produto vetorial
utimesv = i&j&k 100&100&0 100&100&100 = (100cdot100 - 0cdot100),i - (100cdot100 - 0cdot100),j + (100cdot100 - 100cdot100),k
utimesv = (10000,,-10000,,0)

Passo 5

Agora as normas:
|utimesv| = raiz10000^2 + (-10000)^2 + 0^2 = 10000raiz2,
|v| = raiz100^2 + 100^2 + 100^2 = 100raiz3

Passo 6

Aplicando a fórmula da distância:
d = |utimesv||v| = 10000raiz2100raiz3 = 100,raiz2raiz3 = 100raiz63 cm

Resposta

100raiz63 cm.

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