Se aumentamos a aresta de um cubo em 2 raiz5 cm, obtemos um outro cubo cuja diagonal mede 30 cm . Determine a área total e o volume do cubo primitivo.

Passo 1

Seja a a aresta do cubo primitivo. Ao aumentá-la em 2raiz5 cm, a aresta passa a ser a+2raiz5 e a diagonal desse novo cubo mede 30 cm. Vamos usar que a diagonal de um cubo de aresta s é sraiz3.

Passo 2

A diagonal do cubo aumentado satisfaz
(a + 2raiz5)raiz3 = 30
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a + 2raiz5 = 30raiz3 = 10raiz3, a = 10raiz3 - 2raiz5

Passo 3

A área total do cubo primitivo é
A = 6a^2
Primeiro calculamos
a^2 = (10raiz3-2raiz5)^2 = 300 + 20 - 40raiz15 = 320 - 40raiz15,
portanto
A = 6,(320 - 40raiz15) = 1920 - 240raiz15,cm^2

Passo 4

Para o volume V = a^3 usamos o binômio de Newton (x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3 com x=10raiz3 e y=2raiz5. Assim:
a^3 = (10raiz3)^3 -3(10raiz3)^2(2raiz5) +3(10raiz3)(2raiz5)^2 - (2raiz5)^3
Calculando termo a termo:
(10raiz3)^3 = 3000raiz3, -3(10raiz3)^2(2raiz5) = -1800raiz5,
3(10raiz3)(2raiz5)^2 = 600raiz3, -(2raiz5)^3 = -40raiz5
Somando,
a^3 = 3600raiz3 - 1840raiz5,
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V = 3600raiz3 - 1840raiz5,cm^3

Resposta

Área total: 1920 - 240raiz15,cm^2.
Volume: 3600raiz3 - 1840raiz5,cm^3.

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