Determine as dimensões de um paralelepípedo retângulo, sabendo que são proporcionais aos números 1,2,3 e que a área total do paralelepípedo é 352 cm^2.

Solução

& a1=b2=c3=k Rightarrow(a=k, b=2 k, c=3 k)(1) & S=352 Rightarrow 2(a b+a c+b c)=352 Rightarrow a b+a c+b c=176(2)
Substituindo (1) em (2), vem:
1 k cdot 2 k+1 k cdot 3 k+2 k cdot 3 k=176 Rightarrow 11 k^2=176 Rightarrow k^2=16 Rightarrow k=4.
Retornando a (1), temos: a=4, b=8 e c =12.
Resposta: As dimensões são 4 cm, 8 cm e 12 cm .

Passo 1

O enunciado pede as arestas de um paralelepípedo retângulo com dimensões proporcionais a 1, 2 e 3 e cuja área total é 352:cm^2. Vamos usar que, se as arestas são a, b e c e são proporcionais a 1:2:3, então existe um k>0 tal que
a = k, b = 2k, c = 3k

Passo 2

A fórmula da área total S de um paralelepípedo retângulo é
S = 2l(ab + ac + bcr)
Como S = 352, temos
ab + ac + bc = 176

Passo 3

Substituindo a=k, b=2k e c=3k em ab+ac+bc=176, obtemos
kcdot2k + kcdot3k + 2kcdot3k = 176
Isso dá
2k^2 + 3k^2 + 6k^2 = 176 Longrightarrow 11k^2 = 176

Passo 4

Da equação 11k^2=176 vem
k^2 = 16 Longrightarrow k = 4
(escolhemos k>0 pois são dimensões).

Passo 5

Voltando às arestas,
a = k = 4, b = 2k = 8, c = 3k = 12
todas em centímetros.

Resposta

As dimensões do paralelepípedo são 4:cm, 8:cm e 12:cm.

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