1. Dados os pontos M(a, 0) e N(0, a), determine P de modo que o triângulo M N P seja equilátero.

Passo 1

O enunciado dá os pontos M(a,0) e N(0,a) e pede o ponto P tal que o triângulo MNP seja equilátero. O conteúdo usado será a rotação de um vetor no plano por pm60^circ, pois, num triângulo equilátero, o terceiro vértice se obtém girando o lado MN em torno de um de seus extremos por 60^circ.

Passo 2

Primeiro, definimos o vetor de M a N:
MN = N - M = (0 - a,;a - 0) = (-a,;a)
Um triângulo com lado MN equilátero terá também lvert MPrvert = lvert MNrvert e o ângulo ang<= NMP valendo 60^circ ou -60^circ. Para girar um vetor (x,y) no plano em torno da origem por um ângulo theta, usamos a matriz de rotação:
(x',y') = (xcostheta - ysintheta,;xsintheta + ycostheta)

Passo 3

Aplicando rotação de +60^circ ao vetor MN=(-a,a):
cos60^circ=tfrac12,sin60^circ=tfracraiz32,
x' = -acos60^circ - asin60^circ = -tfraca2 - tfracaraiz32 = -tfraca(1+raiz3)2,
y' = -asin60^circ + acos60^circ = -tfracaraiz32 + tfraca2 = tfraca(1-raiz3)2
Então o ponto P1 é
P1 = M + (x',y') = l(a - tfraca(1+raiz3)2,;0 + tfraca(1-raiz3)2r) = l(tfraca(1-raiz3)2,;tfraca(1-raiz3)2r)

Passo 4

Agora giramos MN=(-a,a) por -60^circ:
x' = -acos60^circ + asin60^circ = -tfraca2 + tfracaraiz32 = tfraca(raiz3-1)2,
y' = -asin60^circ + acos60^circl(com sinal invertido em xsinr) = tfracaraiz32 + tfraca2 = tfraca(1+raiz3)2
Assim
P2 = M + (x',y') = l(a + tfraca(raiz3-1)2,;0 + tfraca(1+raiz3)2r) = l(tfraca(1+raiz3)2,;tfraca(1+raiz3)2r)

Resposta

As duas posições possíveis de P que formam um triângulo equilátero com M(a,0) e N(0,a) são
P = l(tfraca(1-raiz3)2,;tfraca(1-raiz3)2r) ou P = l(tfraca(1+raiz3)2,;tfraca(1+raiz3)2r)

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