Qual a base do sistema de numeração em que 243 é o quadrado de 16 ?

Passo 1

O enunciado pede para achar a base b tal que o número escrito como 243 em base b seja igual ao quadrado de 16 também em base b. Vamos usar conceito de valor posicional e resolver uma equação em b.

Passo 2

O valor de 243 na base b é
2b^2 + 4b + 3

Passo 3

O número 16 em base b vale b+6 em decimal, logo o seu quadrado é
(b+6)^2

Passo 4

Igualando as expressões:
2b^2 + 4b + 3 = (b+6)^2 = b^2 + 12b + 36
Resolvendo:
2b^2 + 4b + 3 - b^2 - 12b - 36 = 0
b^2 - 8b - 33 = 0

Passo 5

As raízes dessa equação são
b = 8 pm raiz64 + 1322 = 8 pm raiz1962 = 8 pm 142,
portanto b = 11 ou b = -3. Base negativa não faz sentido, então escolhemos b = 11.

Resposta

A base procurada é 11.

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