BBC - Determine o valor exato da soma, expresso através de um número racional:
a) 13 times 5+15 times 7+17 times 9+19 times 11;
b) 13 times 5+15 times 7+17 times 9+19 times 11+cdots+1(2 n+1) times(2 n+3).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma dos termos da forma tfrac1(2k+1)(2k+3). No item (a) somamos quatro termos explícitos e, no item (b), somamos até um termo genérico de índice n. O conteúdo que precisamos usar é a decomposição em frações parciais para gerar uma soma telescópica.

Passo 2

Para o termo geral temos
1(2k+1)(2k+3) = A2k+1 + B2k+3
Multiplicando em cruz,
A(2k+3) + B(2k+1) = 1
Escolhendo A=tfrac12 e B=-tfrac12 obtemos
1(2k+1)(2k+3) = 12l(12k+1 - 12k+3r),
que é exatamente o formato que permite telescopar a soma.

Passo 3

No item (a) somamos os quatro primeiros termos, isto é, para k=1,2,3,4:
sumk=1^41(2k+1)(2k+3) = 12l(13-15r) + 12l(15-17r) + 12l(17-19r) + 12l(19-111r)
Todos os termos intermediários cancelam, sobrando
12l(13-111r) = 12cdot11-333 = 866 = 433

Passo 4

No item (b) somamos de k=1 até k=n. Usando a mesma decomposição telescópica:
sumk=1^n1(2k+1)(2k+3) = 12l(13-12n+3r) = (2n+3)-32cdot3,(2n+3) = 2n6(2n+3) = n3(2n+3)

Resposta

(a) tfrac433
(b) n3(2n+3)

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