CN - Seja N=x y z z y x um número natural escrito na base dez, onde x, y e z são algarismos distintos. Se N1 e N2 são os dois maiores números divisíveis por 3 e 25, obtidos a partir de N pela substituição de x, y e z, então N1+N2 é igual a?
a) 1.008 .900
b) 1.006 .650
c) 1.106 .640
d) 1.158 .000
e) 1.156650

Passo 1

O enunciado dá um número de seis dígitos da forma ,N=x,y,z,z,y,x, com x,y,z dígitos distintos e xneq0. Precisa-se achar os dois maiores valores de N que sejam simultaneamente divisíveis por 3 e por 25, e depois somá-los. Vamos usar a regra de divisibilidade por 25 (últimos dois dígitos) e por 3 (soma dos dígitos).

Passo 2

Para ser divisível por 25, os dois últimos dígitos de N, que são y na casa das dezenas e x na casa das unidades, devem formar 00, 25, 50 ou 75. Como xneq0 e xneq y, as únicas opções são
(y,x)=(2,5)ou(y,x)=(7,5)

Passo 3

Para ser divisível por 3, a soma dos dígitos de N deve ser múltiplo de 3. Como
soma dos dígitos =2(x+y+z), í
basta que x+y+z seja múltiplo de 3. Avaliando cada caso:
  • Se (y,x)=(7,5), então x+y=5+7=12equiv0pmod3, logo precisamos de zequiv0pmod3. Como zneq5,7, os candidatos são zin0,3,6,9.
  • Se (y,x)=(2,5), então x+y=5+2=7equiv1pmod3, logo precisamos de zequiv2pmod3. Como zneq5,2, o único é z=8.

Passo 4

Agora montamos os valores de N em cada ramo e escolhemos os dois maiores:
  • Ramo (y,x)=(7,5):
    candidatos z=9,6,3,0, gerando
579975,;576675,;573375,;570075
Os dois maiores são 579,975 e 576,675.
  • Ramo (y,x)=(2,5):
    único candidato z=8 528,825, bem abaixo dos anteriores.
Portanto os dois maiores N divisíveis por 75 são
N1=579,975, N2=576,675

Resposta

Somando
N1+N2=579,975+576,675=1,156,650,
logo a alternativa correta é 1.156650.

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