OBM - Uma usina comprou 2000 litros de leite puro e então retirou certo volume V de leite para produção de iogurte e substituiu este volume por água. Em seguida, retirou novamente o mesmo volume V da mistura e substituiu novamente este volume por água. Na mistura final existem 1.125 litros de leite puro. O volume V é:
a) 500 litros
b) 600 litros
c) 700 litros
d) 800 litros
e) 875 litros

Passo 1

Temos inicialmente 2000 L de leite puro. Retira-se um volume V de leite e repõe-se a mesma quantidade em água; repete-se esse processo mais uma vez e, ao final, sobram 1125 L de leite. O conteúdo é de mistura com reposição sucessiva, em que a fração de leite decai a cada etapa por um fator l(1 - V/2000r). Vamos modelar a quantidade de leite em função de V.

Passo 2

Após a primeira retirada e reposição, o leite restante é
2000 - V
litros, num total de 2000 L. Na segunda retirada, remove-se a mesma proporção de leite, isto é, a fração tfrac2000 - V2000. Logo, após a segunda reposição, a quantidade de leite é
(2000 - V),l(1 - V2000r) = (2000 - V)^22000

Passo 3

Sabemos que essa quantidade final é 1125 L, então
(2000 - V)^22000 = 1125
Multiplicando ambos os lados por 2000, vem
(2000 - V)^2 = 2000 times 1125 = 2250000
Tomando raiz quadrada,
2000 - V = pm 1500

Passo 4

Como o volume retirado V não pode exceder 2000, descartamos 2000 - V = -1500. Então
2000 - V = 1500 Longrightarrow V = 500

Resposta

a) 500 litros

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