PRODUTIVIDADE MÉDIA A produção Q de certa fábrica é função do número L de homens-horas utilizados. Use os métodos do cálculo para mostrar que, quando a produção média por homem-hora é máxima, a produção média é igual à produção marginal por homem-hora. Use como dado a informação de que o ponto crítico da função produção média é um máximo absoluto (e não um mínimo absoluto). [Sugestão: A produção marginal por homem-hora é a derivada da produção Q em relação ao número de homens-horas L.]

Passo 1

O enunciado diz que a produção total é uma função Q(L) do número de homens-horas L.
A produção média por homem-hora é
E(L)=\frac{Q(L)}{L},
e a produção marginal por homem-hora é
Q'(L).
O objetivo é mostrar que, no ponto em que E(L) atinge seu máximo, vale
E(L)=Q'(L).

Passo 2

Para encontrar extremos de E(L), calculamos sua derivada pela regra do quociente:
E'(L) =\frac{L\cdot Q'(L)-Q(L)\cdot1}{L^2} =\frac{L\,Q'(L)-Q(L)}{L^2}.

Passo 3

Num ponto crítico de E temos E'(L)=0. Logo,
\frac{L\,Q'(L)-Q(L)}{L^2}=0 \quad\Longrightarrow\quad L\,Q'(L)-Q(L)=0 \quad\Longrightarrow\quad Q'(L)=\frac{Q(L)}{L}.

Passo 4

Como o enunciado garante que esse ponto crítico é um máximo absoluto de E(L), concluímos que, no nível de homens-horas que maximiza a produção média, necessariamente
\frac{Q(L)}{L}=Q'(L).

Resposta

\frac{Q(L)}{L}=Q'(L).

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