(CM Brasília-2005) Tenho o dobro da idade que você tinha quando eu tinha a idade que você têm. Quando você tiver a idade que eu tenho, a soma das nossas idades será 81 anos. A minha idade atual é de
A () 54 anos.
B () 36 anos.
C () 27 anos.
D () 18 anos.

Passo 1

Resumindo o enunciado, chamemos de M a minha idade atual e de Y a sua idade atual. O problema envolve deslocamentos no tempo (“quando eu tinha a sua idade” e “quando você tiver a minha idade”) e pede para montar duas equações relacionando essas idades, resolvendo depois por álgebra.

Passo 2

Para a frase “Tenho o dobro da idade que você tinha quando eu tinha a idade que você têm”, note que:
  • “Quando eu tinha a idade que você têm” foi há M - Y anos.
  • Naquele momento, sua idade era Y - (M - Y) =2Y - M .
    A frase diz que hoje minha idade M é o dobro dessa idade passada, logo
M = 2\,(2Y - M).

Passo 3

Desenvolvendo a equação do passo anterior:
M = 4Y - 2M \quad\Longrightarrow\quad 3M = 4Y \quad\Longrightarrow\quad Y = \tfrac{3}{4}\,M.

Passo 4

Para “Quando você tiver a idade que eu tenho, a soma das nossas idades será 81 anos.”
Esse evento ocorrerá daqui a M - Y anos, quando sua idade for Y + (M - Y) = M e a minha for M + (M - Y) = 2M - Y. A soma vale
M + (2M - Y) = 3M - Y = 81.
Substituindo Y = \tfrac{3}{4}M:
3M - \tfrac{3}{4}M = \tfrac{9}{4}M = 81.

Passo 5

Da equação \tfrac{9}{4}M = 81, temos
M = 81 \times \tfrac{4}{9} = 9 \times 4 = 36.

Resposta

B ( 36 anos)

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