Um bule com café fervendo (a 100^circ C ) foi retirado do fogo e posto em um ambiente cuja temperatura é TA=25^circ C. Sabe-se que a função que fornece a temperatura do café em relação ao tempo transcorrido desde a retirada do bule do fogo (ou seja, desde o instante t=0 ) é T(t)=TA+a cdot e^b t.
a) Sabendo que, passados 15 minutos da retirada do bule do fogo, a temperatura do café foi reduzida a 55^circ C, determine o valor das constantes a e b.
b) Determine a temperatura depois de passados 30 min da retirada do bule do fogo.

Passo 1

O enunciado descreve o resfriamento do café segundo a lei de Newton, com
T(t)=TA+a,e^b t,
onde TA=25^circC. Sabemos que no instante t=0, T(0)=100^circC e que em t=15 minutos, T(15)=55^circC. Precisamos achar as constantes a e b e, depois, calcular T(30).

Passo 2

No instante inicial t=0, temos
T(0)=TA+a,e^bcdot0=TA+a=100
Como TA=25, segue
25 + a = 100 Longrightarrow a = 100 - 25 = 75

Passo 3

Usando T(15)=55, substituímos a=75 na fórmula:
T(15)=25 + 75,e^15b=55
Logo
75,e^15b=55-25=30 Longrightarrow e^15b=3075=25
Tomando logaritmo natural,
15b = ln!l(tfrac25r) Longrightarrow b = 115ln!l(tfrac25r)approx -0,06109

Passo 4

Para t=30 minutos,
T(30)=25 + 75,e^30b
Mas e^30b=(e^15b)^2=(tfrac25)^2=tfrac425=0,16. Assim,
T(30)=25 + 75cdot0,16 = 25 + 12 = 37^circC

Resposta

a = 75,
b = tfrac115ln!l(tfrac25r)approx -0,06109,
e
T(30)=37^circC.

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