O decaimento radioativo do Iodo 131 (um isótopo tóxico) é descrito pela função P(t)=P0 cdot 2^-b t, em que t é o tempo transcorrido (em dias), b é uma constante real e P0 é a concentração inicial de Iodo 131.
a) Determine o valor da constante b sabendo que a meia-vida do Iodo 131 é de 8 dias (ou seja, que a concentração desse isótopo cai pela metade em 8 dias).
b) Uma amostra do capim de uma fazenda contaminada tem, hoje, 16 vezes mais lodo 131 que o máximo permitido, ou seja, P0=16 P lim . Trace um gráfico mostrando o decaimento do Iodo 131 nos próximos 20 dias.
c) Determine em quantos dias, a partir de hoje, o capim poderá ser ingerido por animais da fazenda, ou seja, determine t tal que P(t)=Pl i m.

Passo 1

O enunciado trata do decaimento radioativo, cujo modelo é
P(t)=P0cdot 2^-b,t,
onde t é o tempo em dias, b é uma constante e P0 é a concentração inicial. Precisamos:
  1. Usar a definição de meia-vida (tempo para a quantidade cair à metade) para encontrar b.
  2. Com P0=16,Plim, esboçar o gráfico de P(t) para 0<= t<=20.
  3. Determinar t tal que P(t)=Plim.

Passo 2

Para achar b, usamos que a meia-vida é 8 dias, ou seja
P(8)=P02
Substituindo no modelo:
P0cdot 2^-bcdot 8 = P02 Longrightarrow 2^-8b = tfrac12 = 2^-1 Longrightarrow -8b = -1 Longrightarrow b = 18

Passo 3

Agora P(t)=16,Plimcdot 2^-t/8. Para esboçar o gráfico de t=0 a 20:
Inline tabela de pontos-chave (em função de Plim)
  • t=0: P(0)=16,Plim
  • t=8: P(8)=16,Plimcdot2^-1=8,Plim
  • t=16: P(16)=16,Plimcdot2^-2=4,Plim
  • t=20: P(20)=16,Plimcdot2^-20/8=16,Plimcdot2^-2,5approx2,828,Plim
O gráfico é uma curva exponencial decrescente que passa por esses pontos, caindo de 16,Plim em t=0 para cerca de 2,8,Plim em t=20.

Passo 4

Para P(t)=Plim, resolvemos
16,Plimcdot 2^-t/8 = Plim Longrightarrow 16cdot 2^-t/8 = 1 Longrightarrow 2^4 - t/8 = 1 Longrightarrow 4 - t8 = 0 Longrightarrow t = 32

Resposta

(a) b=tfrac18 (dia ^-1).
(b) Gráfico de P(t)=16,Plim,2^-t/8 de t=0 a 20, com pontos em (0,16Plim), (8,8Plim), (16,4Plim), (20,2,828Plim).
(c) t=32 dias.

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