(Cabri-2001) Um trapézio A B C D tem os lados A B e C D paralelos e os ângulos \angle D A B e \angle A B C obtusos. Sabe-se também que A B=3, B C =10, C D=24 e A D=17. Achar a área de A B C D.

Passo 1

O enunciado descreve um trapézio ABCD com AB\parallel CD, \angle DAB e \angle ABC obtusos, e lados AB=3, BC=10, CD=24, AD=17. Vamos usar geometria analítica: colocar vértices em coordenadas, impor distâncias e então aplicar a fórmula da área de trapézio.

Passo 2

Escolhemos A=(0,0) e B=(3,0). Como CD\parallel AB é horizontal de comprimento 24, escrevemos
D=(x_D,h),
C=(x_D+24,h),
onde x_D e h>0 são incógnitas.

Passo 3

Impondo as distâncias AD=17 e BC=10, temos
AD^2 = x_D^2 + h^2 = 17^2 = 289,
BC^2 = (x_D+24 - 3)^2 + h^2 = (x_D+21)^2 + h^2 = 10^2 = 100.

Passo 4

Subtraindo as equações,
(x_D+21)^2 - x_D^2 = 100 - 289 = -189
42\,x_D + 441 = -189 \quad\Longrightarrow\quad x_D = -15,
e
h^2 = 289 - (-15)^2 = 289 - 225 = 64 \quad\Longrightarrow\quad h = 8.

Passo 5

A altura do trapézio é h=8 e as bases têm comprimentos 3 e 24. Então a área é
\text{Área} = \frac{(3 + 24)\cdot 8}{2} = \frac{27 \cdot 8}{2} = 108.Á

Resposta

108

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