Pelo vértice C de um paralelogramo A B C D, traça-se uma reta que divide a diagonal BD em duas partes, sendo uma delas o quádruplo da outra. Mostrar que essa secante divide o lado AD em duas partes, sendo uma o triplo da outra.

Passo 1

O enunciado diz que, num paralelogramo ABCD, traçamos a reta CE passando por C de modo que ela corta a diagonal BD em E, dividindo-a em duas partes, uma quatro vezes maior que a outra. Precisamos mostrar que essa reta também corta o lado AD num ponto F que divide AD em duas partes na razão 3:1.
Conteúdo: vamos usar geometria vetorial e coordenadas de pontos para achar as interseções e proporções.

Passo 2

Escolhemos A como origem dos vetores e definimos
\vec{AB} = \mathbf{a}, \quad \vec{AD} = \mathbf{b}.
Então os vértices têm posições vetoriais
A=\mathbf{0}, \quad B=\mathbf{a}, \quad D=\mathbf{b}, \quad C=\mathbf{a}+\mathbf{b}.

Passo 3

O ponto E está sobre a diagonal BD, que é o segmento de B a D. Escrevemos
\overrightarrow{BE} = t\,( \overrightarrow{BD} ) = t\,(\mathbf{b}-\mathbf{a}).
Como a reta divide BD em partes com razão BE:ED = 4:1, temos
t/(1-t)=4 \quad\Longrightarrow\quad t=\tfrac{4}{5}.
Logo
E = B + \tfrac{4}{5}(\mathbf{b}-\mathbf{a}) = \mathbf{a} + \tfrac{4}{5}\mathbf{b} - \tfrac{4}{5}\mathbf{a} = \tfrac{1}{5}\,\mathbf{a} + \tfrac{4}{5}\,\mathbf{b}.

Passo 4

Agora escrevemos a reta CE em forma paramétrica:
P(s) = C + s\,(E-C) = (\mathbf{a}+\mathbf{b}) + s\Bigl(\tfrac{1}{5}\mathbf{a}+\tfrac{4}{5}\mathbf{b} - (\mathbf{a}+\mathbf{b})\Bigr)
\quad = (\mathbf{a}+\mathbf{b}) + s\Bigl(-\tfrac{4}{5}\mathbf{a}-\tfrac{1}{5}\mathbf{b}\Bigr) = \Bigl(1-\tfrac{4s}{5}\Bigr)\mathbf{a} + \Bigl(1-\tfrac{s}{5}\Bigr)\mathbf{b}.
Queremos o ponto F onde CE cruza AD. Como AD é o conjunto dos pontos \tau\,\mathbf{b}, exige-se o coeficiente de \mathbf{a} nulo:
1-\tfrac{4s}{5}=0 \quad\Longrightarrow\quad s=\tfrac{5}{4}.

Passo 5

Para s=\tfrac{5}{4}, o ponto de interseção é
F = P\bigl(\tfrac{5}{4}\bigr) = \Bigl(1-\tfrac{1}{4}\Bigr)\mathbf{b} = \tfrac{3}{4}\,\mathbf{b}.
Isto mostra que F está em AD de modo que
AF = \tfrac{3}{4}\,AD, \quad FD = \tfrac{1}{4}\,AD,
ou seja, AF:FD=3:1.

Resposta

A secante a partir de C que divide BD em 4:1 divide AD em 3:1.

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