(IME-64) Provar que, em qualquer trapézio, a soma dos quadrados das diagonais é igual à soma dos quadrados dos lados não paralelos mais o dobro do produto das bases.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, num trapézio qualquer ABCD com bases AB e CD paralelas, vale a relação
AC^{2} + BD^{2} \;=\; AD^{2} + BC^{2} \;+\; 2\,(AB)\,(CD).
O tema é geometria analítica: vamos colocar o trapézio num sistema de coordenadas, calcular as distâncias e verificar a identidade.

Passo 2

Escolhemos coordenadas de modo que as bases fiquem horizontais e fáceis de medir:
colocamos
A=(0,0),
B=(a,0),
D=(d,h) e
C=(c,h),
com a>0 e h>0.
Nesse sistema,
AB = a,\qquad CD = c - d.

Passo 3

Calculamos os quadrados das distâncias usando a fórmula de distância entre dois pontos \bigl(x_{1},y_{1}\bigr) e \bigl(x_{2},y_{2}\bigr):
AC^{2} = c^{2} + h^{2},
BD^{2} = (d - a)^{2} + h^{2},
AD^{2} = d^{2} + h^{2},
BC^{2} = (c - a)^{2} + h^{2}.

Passo 4

Somando AC^{2} e BD^{2} e comparando com a soma AD^{2}+BC^{2}, notamos que os termos em h^{2} cancelam:
AC^{2} + BD^{2} = \bigl(c^{2} + (d - a)^{2}\bigr) + 2\,h^{2},
AD^{2} + BC^{2} = \bigl(d^{2} + (c - a)^{2}\bigr) + 2\,h^{2}.
Logo,
(AC^{2} + BD^{2}) \;-\; (AD^{2} + BC^{2}) = \bigl(c^{2} + (d - a)^{2}\bigr) \;-\; \bigl(d^{2} + (c - a)^{2}\bigr).
Expandindo e simplificando:
c^{2} + d^{2} - 2ad + a^{2} \;-\; \bigl(d^{2} + c^{2} - 2ac + a^{2}\bigr) = 2\,a\,(c - d).

Passo 5

Como definimos AB = a e CD = c - d, a diferença fica
(AC^{2} + BD^{2}) - (AD^{2} + BC^{2}) = 2\,(AB)\,(CD),
que é exatamente a relação desejada.

Resposta

AC^{2} + BD^{2} = AD^{2} + BC^{2} + 2\,AB\,CD.

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