(IME-64) Provar que, em qualquer trapézio, a soma dos quadrados das diagonais é igual à soma dos quadrados dos lados não paralelos mais o dobro do produto das bases.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, num trapézio qualquer
com bases
e
paralelas, vale a relação
O tema é geometria analítica: vamos colocar o trapézio num sistema de coordenadas, calcular as distâncias e verificar a identidade.
Passo 2
Escolhemos coordenadas de modo que as bases fiquem horizontais e fáceis de medir:
colocamos
,
,
e
,
com e
.
Nesse sistema,
colocamos
com
Nesse sistema,
Passo 3
Calculamos os quadrados das distâncias usando a fórmula de distância entre dois pontos
e
:
Passo 4
Somando
e
e comparando com a soma
, notamos que os termos em
cancelam:
Logo,
Expandindo e simplificando:
Passo 5
Como definimos
e
, a diferença fica
que é exatamente a relação desejada.