Em um trapézio ABCD com \mathrm{AB} \| \mathrm{CD}, \mathrm{AB}= 20, \mathrm{CD}=3, \angle \mathrm{ABC}=32^{\circ} e \angle \mathrm{BAD}=58^{\circ}. Calcule a distância entre os pontos médios de AB e CD.

Passo 1

Temos um trapézio ABCD com AB\parallel CD, AB=20, CD=3, \angle ABC=32^\circ e \angle BAD=58^\circ. Queremos a distância entre os pontos médios de AB e de CD. Para isso, vamos:
  1. Colocar A e B em coordenadas convenientes.
  2. Expressar D e C em função de dois comprimentos desconhecidos AD=p e BC=q.
  3. Impor que CD seja paralelo a AB e tenha comprimento 3, encontrando p e q.
  4. Calcular os pontos médios e a distância entre eles.

Passo 2

Escolhemos
A=(0,0),\quad B=(20,0).
Como \angle BAD=58^\circ, o vetor \overrightarrow{AD} tem módulo p e direção 58^\circ acima do eixo x:
D=\bigl(p\cos58^\circ,\;p\sin58^\circ\bigr).
Como \angle ABC=32^\circ, o vetor \overrightarrow{BC} tem módulo q e direção 180^\circ-32^\circ=148^\circ:
C=\bigl(20+q\cos148^\circ,\;q\sin148^\circ\bigr).

Passo 3

Condição de paralelismo CD\parallel AB implica igualdade das ordenadas de C e D:
p\sin58^\circ=q\sin148^\circ=q\sin32^\circ. \tag{1}
Além disso, o comprimento de CD vale 3, isto é,
\bigl(20+q\cos148^\circ\bigr)-\bigl(p\cos58^\circ\bigr)=3 \;\Longrightarrow\; q\cos148^\circ - p\cos58^\circ = -17. \tag{2}
Das equações (1) e (2) resolvemos para p e q, obtendo numericamente
p\approx 9{,}01,\quad q\approx 14{,}42.

Passo 4

Com esses valores,
D\approx(4{,}78,\;7{,}64), \quad C\approx(7{,}77,\;7{,}64).
O ponto médio de AB é
M=\bigl(10,0\bigr),
e o ponto médio de CD é
N=\Bigl(\tfrac{4{,}78+7{,}77}{2},\,7{,}64\Bigr)\approx(6{,}28,\;7{,}64).
Logo a distância
MN=\sqrt{(10-6{,}28)^2+(0-7{,}64)^2}\approx 8{,}50.

Resposta

A distância entre os pontos médios de AB e CD é aproximadamente 8,50.

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