Em cada caso, determine a taxa de variação percentual de f(t) \operatorname{com} t para o valor de t dado.
21. Em cada caso, determine a taxa de variação percentual de f(t) \operatorname{com} t para o valor de t dado.
f(t)=t^{2}(3-2 t)^{3} em t=1

Passo 1

O enunciado pede a taxa de variação percentual de f(t) com relação a t no ponto t=1.
Conteúdo: para uma função f, a taxa de variação percentual é dada por
\frac{f'(t)}{f(t)}\times 100\%.
Vamos, portanto,
1. calcular f'(t) usando regra do produto e regra da cadeia;
2. avaliar f(1) e f'(1);
3. formar \dfrac{f'(1)}{f(1)}\times100\%.

Passo 2

Derivando f(t)=t^{2}(3-2t)^{3}: seja g(t)=3-2t, então
f(t)=t^2\,[g(t)]^3.
Pela regra do produto e da cadeia,
f'(t) =2t\,(3-2t)^3 + t^2\cdot3\,(3-2t)^2\cdot(-2).
Fatorando 2t\,(3-2t)^2:
f'(t) =2t\,(3-2t)^2\Bigl[(3-2t)-3t\Bigr] =2t\,(3-2t)^2\,(3-5t).

Passo 3

Avaliamo-os em t=1:
f(1)=1^2\,(3-2\cdot1)^3=(3-2)^3=1, \quad f'(1)=2\cdot1\,(3-2)^2\,(3-5\cdot1) =2\cdot1\cdot1\cdot(-2)=-4.

Passo 4

A taxa de variação percentual em t=1 é
\frac{f'(1)}{f(1)}\times100\% =\frac{-4}{1}\times100\% =-400\%.

Resposta

-400\%

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