Determine a equação da reta tangente à curva da função dada no ponto especificado.
Nos Problemas 14 a 17, determine a equação da reta tangente à curva da função dada no ponto especificado.
f(x)=\frac{x}{x^{2}+1} ; x=0

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente à curva da função
f(x)=\frac{x}{x^{2}+1}
no ponto em que x=0. Para isso, precisamos de dois ingredientes: o coeficiente angular da reta (que vem da derivada f'(x)) e o ponto de tangência (x_{0},y_{0}), com y_{0}=f(x_{0}).

Passo 2

Vamos calcular f'(x) usando a regra do quociente. Se definirmos
u(x)=x,\quad v(x)=x^{2}+1,
então
u'(x)=1,\quad v'(x)=2x,
e
f'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}} =\frac{1\cdot(x^{2}+1)-x\cdot(2x)}{(x^{2}+1)^{2}} =\frac{x^{2}+1-2x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}} =\frac{1-x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}.

Passo 3

O coeficiente angular da reta tangente é
m=f'(0)=\frac{1-0^{2}}{(0^{2}+1)^{2}}=\frac{1}{1}=1.

Passo 4

O ponto de tangência tem coordenada x_{0}=0 e
y_{0}=f(0)=\frac{0}{0^{2}+1}=0.

Passo 5

Usando a forma ponto-inclinação da reta:
y - y_{0}=m\,(x - x_{0})
substituímos m=1, x_{0}=0 e y_{0}=0, obtendo
y - 0 = 1\,(x - 0) \quad\Longrightarrow\quad y = x.

Resposta

A equação da reta tangente é
y = x.

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