Determine a equação da reta tangente à curva da função dada no ponto especificado.
Nos Problemas 14 a 17, determine a equação da reta tangente à curva da função dada no ponto especificado.
f(x)=\sqrt{x^{2}+5} ; x=-2

Passo 1

Resumimos: temos f(x)=\sqrt{x^2+5} e buscamos a reta tangente no ponto de abscissa x_0=-2. Precisamos de y_0=f(x_0), da derivada f'(x) e de f'(x_0), para então aplicar a forma ponto-inclinação da reta
y - y_0 = f'(x_0)\bigl(x - x_0\bigr).

Passo 2

Calcular y_0:
y_0 = f(-2) = \sqrt{(-2)^2 + 5} = \sqrt{4 + 5} = 3.

Passo 3

Encontrar f'(x). Como \frac{d}{dx}\sqrt{u}=\frac{u'}{2\sqrt{u}}, tomando u=x^2+5 e u'=2x, vem
f'(x) = \frac{2x}{2\sqrt{x^2+5}} = \frac{x}{\sqrt{x^2+5}}.

Passo 4

Avaliar a derivada em x_0=-2:
f'(-2) = \frac{-2}{\sqrt{(-2)^2+5}} = \frac{-2}{3} = -\tfrac{2}{3}.

Passo 5

Formar a equação da reta tangente usando
y - y_0 = f'(x_0)\bigl(x - x_0\bigr).
Substituindo y_0=3, x_0=-2 e f'(-2)=-\tfrac{2}{3},
y - 3 = -\tfrac{2}{3}\,(x + 2).
Desenvolvendo,
y - 3 = -\tfrac{2}{3}x - \tfrac{4}{3},
y = -\tfrac{2}{3}x - \tfrac{4}{3} + 3 = -\tfrac{2}{3}x + \tfrac{5}{3}.

Resposta

y = -\frac{2}{3}x + \frac{5}{3}.

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