Para cada uma destas proposições, encontre um domínio para que a proposição seja verdadeira e um domínio para que a proposição seja falsa.
Cada duas pessoas têm o mesmo nome.

Passo 1

A proposição “Cada duas pessoas têm o mesmo nome” pode ser formalizada como
\forall x\,\forall y\;\bigl(\text{nome}(x)=\text{nome}(y)\bigr).
Ou seja, para que seja verdadeira em um domínio, todo par de indivíduos desse domínio deve compartilhar exatamente o mesmo nome. Para que seja falsa, basta haver pelo menos um par de indivíduos com nomes diferentes.

Passo 2

Domínio em que a proposição é verdadeira
Para tornar
\forall x\,\forall y\;\bigl(\text{nome}(x)=\text{nome}(y)\bigr)
verdadeira, basta escolher um domínio em que todos os indivíduos possuam exatamente o mesmo nome. Por exemplo:
D = { p_{1}, p_{2}}, onde \text{nome}(p_{1})=\text{“Ana”} e \text{nome}(p_{2})=\text{“Ana”}.
Nesse domínio, qualquer par (x,y) satisfaz \text{nome}(x)=\text{nome}(y), logo a proposição é verdadeira.

Passo 3

Domínio em que a proposição é falsa
Para que
\forall x\,\forall y\;\bigl(\text{nome}(x)=\text{nome}(y)\bigr)
seja falsa, basta haver um contra-exemplo, isto é, dois indivíduos com nomes distintos. Por exemplo:
D′ = { q_{1}, q_{2}}, onde \text{nome}(q_{1})=\text{“Bruno”} e \text{nome}(q_{2})=\text{“Carla”}.
Nesse domínio existe o par (q_{1},q_{2}) tal que \text{nome}(q_{1})\neq\text{nome}(q_{2}), portanto a proposição é falsa.

Resposta

Domínio verdadeiro: D=\{p_1,p_2\} com \text{nome}(p_1)=\text{nome}(p_2)=\text{“Ana”}.
Domínio falso: D'=\{q_1,q_2\} com \text{nome}(q_1)=\text{“Bruno”} e \text{nome}(q_2)=\text{“Carla”}.

Exercícios de Livros Relacionados