Para cada uma das funções generalizadas abaixo, forneça uma fórmula fechada para a seqüência que ela determina.
e^{3 x^{2}}-1

Passo 1

O enunciado fornece a função geradora
G(x)=e^{3x^{2}}-1
que define uma sequência (a_{n})_{n\ge0} via
G(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}.
Precisamos achar uma fórmula fechada para a_{n}.

Passo 2

Usamos a expansão padrão da exponencial:
e^{t}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{t^{k}}{k!},
e fazemos t=3x^{2}. Assim
e^{3x^{2}}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{3^{k}}{k!}\,x^{2k}.

Passo 3

Agora subtraímos 1, o que elimina o termo k=0:
e^{3x^{2}}-1=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{3^{k}}{k!}\,x^{2k}.
Isso mostra que todos os coeficientes a_{n} são zero quando n é ímpar ou n=0, e que, para n=2k com k\ge1,
a_{2k}=\frac{3^{k}}{k!}.

Resposta

a_{n}= \begin{cases} \displaystyle \frac{3^{\,n/2}}{(n/2)!},&n\text{ par e }n\ge2,\\[1em] 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}á]

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