Encontre uma forma fechada para a função generalizada para a seqüência \left\{a_{n}\right\}, em que
Questão 6
a_{n}=2^{n} para n=1,2,3,4, \ldots e a_{0}=0.

Passo 1

O enunciado pede a função geradora da sequência \{a_n\}, em que a_{0}=0 e a_{n}=2^{n} para n\ge1. O conteúdo é séries de potências e soma de progressão geométrica; vamos usar a fórmula da soma de uma série geométrica.

Passo 2

Definimos a função geradora como
F(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\,x^{n}
Separando o termo n=0, como a_{0}=0, obtemos
F(x)=\sum_{n=1}^{\infty}2^{n}x^{n}

Passo 3

Sabemos que, para \lvert x\rvert<\tfrac12, vale a soma da série geométrica
\sum_{n=0}^{\infty}2^{n}x^{n}=\frac{1}{1-2x}

Passo 4

Para extrair apenas os termos a partir de n=1, subtraímos o termo n=0 (que é 2^{0}x^{0}=1) da soma acima:
\sum_{n=1}^{\infty}2^{n}x^{n}=\frac{1}{1-2x}-1=\frac{2x}{1-2x}
Logo,
F(x)=\frac{2x}{1-2x}

Resposta

F(x)=\frac{2x}{1-2x}

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