Encontre uma forma fechada para a função generalizada de cada uma das seqüências abaixo. (Para cada seqüência, utilize a escolha mais óbvia de uma seqüência que contenha os termos iniciais listados.)
0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1, \ldots

Passo 1

O enunciado dá a sequência
0,\;1,\;0,\;0,\;1,\;0,\;0,\;1,\;0,\;0,\;1,\;\ldots
e pede uma fórmula fechada para o termo geral a_n. Aqui o conteúdo é reconhecer recorrência ou periodicidade e escrever a_n em função de n.

Passo 2

Observando os valores vemos que o padrão “0, 1, 0” se repete indefinidamente. Ou seja, a sequência é periódica de período 3, com
(a_1,a_2,a_3) = (0,1,0), \quad (a_4,a_5,a_6) = (0,1,0), \;\ldots

Passo 3

Como a periodicidade é 3, o valor de a_n depende apenas de n módulo 3. Em particular aparece 1 exatamente quando
n\equiv 2\pmod{3},
e vale 0 nos demais casos. Portanto
a_n = \begin{cases} 1, & \text{se }n\equiv 2\pmod{3},\\\\ 0, & \text{caso contrário}. \end{cases}á

Passo 4

Podemos também dar uma forma fechada usando a soma de raízes da unidade. Seja \omega=e^{2\pi i/3}. Então
\delta_{n\equiv2} =\frac{1}{3}\bigl(1+\omega^{n-2}+\omega^{2(n-2)}\bigr)
é exatamente 1 quando n\equiv2\pmod{3} e 0 caso contrário. Assim outra expressão equivalente é
a_n =\frac{1}{3}\bigl(1+\omega^{n-2}+\omega^{2(n-2)}\bigr).

Resposta

a_n = \begin{cases} 1, & n\equiv 2\pmod{3},\\\\ 0, & \text{caso contrário}. \end{cases}á

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