Para cada grupo de premissas abaixo, qual conclusão ou conclusões relevantes podem ser tiradas? Explique as regras de inferência utilizadas para obter cada conclusão das premissas.
“Todos os insetos têm seis patas.” “Libélulas são insetos.” “Aranhas não têm seis patas.” “Aranhas comem libélulas.”

Passo 1

Resumindo o enunciado em lógica de predicados: \forall x\,(Inseto(x)\to SeisPatas(x)) \forall x\,(Libelula(x)\to Inseto(x)) \forall x\,(Aranha(x)\to \neg SeisPatas(x)) \exists x\,\exists y\,(Aranha(x)\wedge Libelula(y)\wedge Come(x,y))
Vamos usar instanciação universal, modus ponens, contraposição, eliminação existencial e generalização existencial para tirar conclusões.

Passo 2

Conclusão: “Todas as libélulas têm seis patas.”
  1. De \forall x\,(Libelula(x)\to Inseto(x)) e \forall x\,(Inseto(x)\to SeisPatas(x)), instanciamos um indivíduo genérico a.
  2. De Libelula(a)\to Inseto(a) e Libelula(a), por modus ponens, obtemos Inseto(a).
  3. De Inseto(a)\to SeisPatas(a) e Inseto(a), por modus ponens, obtemos SeisPatas(a).
  4. Como a foi genérico, por generalização universal concluímos \forall y\,(Libelula(y)\to SeisPatas(y)).

Passo 3

Conclusão: “Aranhas não são insetos.”
  1. Da premissa \forall x\,(Inseto(x)\to SeisPatas(x)) obtemos, por contraposição, \forall x\,(\neg SeisPatas(x)\to \neg Inseto(x)).
  2. De \forall x\,(Aranha(x)\to \neg SeisPatas(x)) e modus ponens aplicando a instância “aranha” seguimos \Aranha(b)\to \neg SeisPatas(b).
  3. Aplicando modus ponens em \neg SeisPatas(b)\to \neg Inseto(b) e \neg SeisPatas(b) obtemos \neg Inseto(b).
  4. Como b é genérico, \forall x\,(Aranha(x)\to \neg Inseto(x)).

Passo 4

Conclusão: “Aranhas comem insetos.”
  1. Da existência \exists x\,\exists y\,(Aranha(x)\wedge Libelula(y)\wedge Come(x,y)) usamos eliminação existencial para obter indivíduos c,d tais que
    Aranha\text{(c)}, Libelula(d), Come(c,d).
  2. De \forall x\,(Libelula(x)\to Inseto(x)) e Libelula(d), por modus ponens, vem Inseto(d).
  3. Reagrupando, temos Aranha\text{(c)}\wedge Inseto(d)\wedge Come(c,d).
  4. Por generalização existencial concluímos \exists x\,\exists y\,(Aranha(x)\wedge Inseto(y)\wedge Come(x,y)).

Resposta

(a) Todas as libélulas têm seis patas.
(b) Aranhas não são insetos.
(c) Aranhas comem insetos.

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