Para cada item a seguir, trace em um mesmo plano cartesiano os gráficos das três funções fornecidas, no intervalo indicado, usando um programa gráfico.
f(x)=x^2 cos (2 x), g(x)=x^2, h(x)=-x^2, x in[-3 pi, 3 pi]

Passo 1

O enunciado pede para sobrepor no mesmo plano cartesiano, no intervalo [-3pi,3pi], os gráficos das funções
f(x)=x^2cos(2x), g(x)=x^2, h(x)=-x^2
O conteúdo envolve visualização de funções e uso de programa gráfico (por exemplo, Python/Matplotlib, Desmos ou GeoGebra).

Passo 2

Observe a forma de cada função:
g(x)=x^2 é uma parábola voltada para cima, com vértice em (0,0).
h(x)=-x^2 é uma parábola voltada para baixo, também com vértice em (0,0).
f(x)=x^2cos(2x) oscila conforme cos(2x), com amplitude crescente em |x| já que o fator x^2 cresce em módulo.

Passo 3

Escolha um programa gráfico. Aqui usamos Python com NumPy e Matplotlib, mas o procedimento é análogo em outras ferramentas. Vamos:
1. Gerar um vetor de pontos x em [-3pi,3pi].
2. Calcular f(x), g(x) e h(x).
3. Traçar as três curvas no mesmo eixo, com legendas e cores distintas.

Passo 4

Em Python, por exemplo, crie o vetor de abscissas:
import numpy as np
x \(=\) np.linspace(-\(3\)*np.pi, \(3\)*np.pi, \(1000\))

Passo 5

Calcule os valores das funções:
f \(=\) x**\(2\) * np.cos(\(2\)*x)
g \(=\) x**\(2\)
h \(=\) -x**\(2\)

Passo 6

Trace o gráfico:
import matplotlib.pyplot as plt

plt.figure(figsize\(=\)(\(8,5\)))
plt.plot(x, f, label\(=\)'f(x)\(= x^{2}\) cos(\(2\)x)')
plt.plot(x, g, label\(=\)'g(x)\(= x^{2}\)', linestyle\(=\)'--')
plt.plot(x, h, label\(=\)'h(x)\(=\)-\(x^{2}\)', linestyle\(=\)':')
plt.axhline(\(0\), color\(=\)'black', linewidth\(=0.5\))
plt.legend()
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Gráficos de f, g e h em [-\(3\pi\),\(3\pi\)]')
plt.grid(True)
plt.show()

Resposta

O gráfico resultante mostra:
  • A parábola g(x)=x^2 (linha tracejada) abrindo para cima;
  • A parábola h(x)=-x^2 (linha pontilhada) abrindo para baixo;
  • A curva f(x)=x^2cos(2x) (linha contínua) oscilando entre os “envelopes” formados por pm x^2, com zeros em x=(2k+1)pi/4.

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