(UF-PE) Para cada número real , defina a matriz . Analise as afirmações seguintes acerca de M(alpha) :
0-0) M(0) é a matriz identidade 3 times 3.
1-1) M(alpha)^2=M(2 alpha).
2-2) M(alpha) tem determinante 1.
3-3) M(alpha) é invertível, e sua inversa é M(-alpha).
4-4) Se M(alpha)^t é a transposta de M(alpha), então M(alpha) M(alpha)^t=M(0).
Passo 1
O enunciado define, para cada real alpha, a matriz
que representa uma rotação de ângulo alpha no plano xy, estendida trivialmente na direção z. Para resolver as afirmações, vamos usar propriedades básicas de rotação: a composição de rotações soma ângulos, o determinante é 1 e a matriz é ortogonal.
Passo 2
Verificamos . Como e ,
que é exatamente a matriz identidade . Logo, a afirmação 0 é verdadeira.
Passo 3
Calculamos M(alpha)^2 = M(alpha),M(alpha). Num produto de matrizes de rotação vale a soma de ângulos, isto é,
M(alpha),M(alpha) = M(alpha+alpha) = M(2alpha)
Portanto, a afirmação 1 também é verdadeira.
Passo 4
O determinante de M(alpha) é o produto do determinante da rotação 2times2 no plano (que é 1) pelo elemento 1 na linha 3. Assim,
det M(alpha)=1cdot1=1
Logo, a afirmação 2 é verdadeira.
Passo 5
Como M(alpha) é ortogonal, sua inversa coincide com sua transposta. Mas sabemos que
Logo M(alpha)^-1=M(-alpha) e a afirmação 3 é verdadeira.
Passo 6
Finalmente, como M(alpha) é ortogonal, vale
M(alpha),M(alpha)^!t=I3,
e já vimos que I3=M(0). Portanto, a afirmação 4 também é verdadeira.
Resposta
As afirmações 0, 1, 2, 3 e 4 são todas verdadeiras.
Cálculo - Gelson Iezzi, Samuel Hazzan - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 4: Sequências, matrizes, determiantes e sistema - 8ª Edição - Capítulo Questões de Vestibulares.Questões de Vestibular - Ex. 205