Para cada uma das seguintes funções
, mostre que
e
são todos iguais a 0 na origem. Mostre também que na origem, (a) tem um mínimo,
.
Passo 1
O enunciado pede para a função
mostrar que
,
e que o determinante Hessiano
é zero. Em seguida, classificar o ponto
e verificar que ali há um mínimo.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais primeiras de
:
Em particular, em
vem
Passo 3
Agora as derivadas segundas:
Logo em
temos
e o determinante Hessiano fica
Passo 4
O teste das segundas derivadas fica inconclusivo porque
. No entanto, como
para todo
e
, concluímos que
é ponto de mínimo global (e, em particular, mínimo local).