Para cada uma das seguintes funções z=f(x, y), mostre que fx, fy e D são todos iguais a 0 na origem. Mostre também que na origem, (a) tem um mínimo,
f(x, y)=x^4+y^4.

Passo 1

O enunciado pede para a função
f(x,y)=x^4+y^4
mostrar que ,fx(0,0)=0, ,fy(0,0)=0 e que o determinante Hessiano
D(0,0)=fxx(0,0),fyy(0,0)-l(fxy(0,0)r)^2
é zero. Em seguida, classificar o ponto (0,0) e verificar que ali há um mínimo.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais primeiras de f:
fx(x,y)=partialpartial xl(x^4+y^4r)=4x^3, fy(x,y)=partialpartial yl(x^4+y^4r)=4y^3
Em particular, em (0,0) vem
fx(0,0)=4cdot0^3=0, fy(0,0)=4cdot0^3=0

Passo 3

Agora as derivadas segundas:
fxx(x,y)=partialpartial x(4x^3)=12x^2, fyy(x,y)=partialpartial y(4y^3)=12y^2, fxy(x,y)=partialpartial y(4x^3)=0
Logo em (0,0) temos
fxx(0,0)=0, fyy(0,0)=0, fxy(0,0)=0
e o determinante Hessiano fica
D(0,0)=0cdot0-0^2=0

Passo 4

O teste das segundas derivadas fica inconclusivo porque D(0,0)=0. No entanto, como
f(x,y)=x^4+y^4>=0
para todo (x,y) e f(0,0)=0, concluímos que (0,0) é ponto de mínimo global (e, em particular, mínimo local).

Resposta

,fx(0,0)=0, ,fy(0,0)=0, ,D(0,0)=0 e f tem mínimo em (0,0).

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