Cada vértice de um cubo é centro de uma esfera de raio igual a 4 cm ; sendo 8 cm a medida da aresta do cubo, calcule o volume da parte do cubo exterior às esferas.

Passo 1

O enunciado dá um cubo de aresta 8 cm e, em cada um dos seus 8 vértices, está centrada uma esfera de raio 4 cm. Precisamos achar o volume da região que está dentro do cubo mas fora de todas essas esferas. Para isso vamos usar fórmula de volume de cubo, de esfera e argumentos sobre como cada esfera “entra” no interior do cubo.

Passo 2

Posicionemos o cubo no sistema de coordenadas como o conjunto
0<= x<=8, 0<= y<=8, 0<= z<=8
e examine a esfera centrada em (0,0,0) de raio 4. Dentro do cubo só fica a parte da esfera em que x,y,z>=0, ou seja, exatamente um oitante da esfera inteira. O volume de uma esfera de raio r é
Vrm es = 43pi r^3,
então o volume do oitante é
Vrm oitante = 18Vrm es = 18cdot43pi,(4)^3 = 18cdot43picdot64 = 323pi
Como cada vértice produz uma esfera igual e simetricamente posicionada, cada uma contribui com um oitante de esfera dentro do cubo. É preciso checar se esses oitantes se sobrepõem no interior do cubo. A distância entre vértices adjacentes é 8, e como cada raio vale 4, as esferas apenas se tocam na fronteira (aresta do cubo) e não se intersectam em volume no interior. Logo, não há sobreposição de volumes.

Passo 3

Somando os 8 oitantes (um de cada vértice), a parte total de esferas dentro do cubo é
8times Vrm oitante = 8times323pi = 2563pi
O volume total do cubo é
Vrm cubo = 8^3 = 512
Portanto, o volume da região do cubo que está fora de todas as esferas é
Vrm livre = Vrm cubo - (volume interno das esferas) = 512 - 2563pi

Resposta

512 - 2563picm^3

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