Cada vértice de um cubo é centro de uma esfera de raio igual a 4 cm ; sendo 8 cm a medida da aresta do cubo, calcule o volume da parte do cubo exterior às esferas.
Passo 1
O enunciado dá um cubo de aresta
cm e, em cada um dos seus 8 vértices, está centrada uma esfera de raio
cm. Precisamos achar o volume da região que está dentro do cubo mas fora de todas essas esferas. Para isso vamos usar fórmula de volume de cubo, de esfera e argumentos sobre como cada esfera “entra” no interior do cubo.
Passo 2
Posicionemos o cubo no sistema de coordenadas como o conjunto
e examine a esfera centrada em
de raio
. Dentro do cubo só fica a parte da esfera em que
, ou seja, exatamente um oitante da esfera inteira. O volume de uma esfera de raio
é
então o volume do oitante é
Como cada vértice produz uma esfera igual e simetricamente posicionada, cada uma contribui com um oitante de esfera dentro do cubo. É preciso checar se esses oitantes se sobrepõem no interior do cubo. A distância entre vértices adjacentes é
, e como cada raio vale
, as esferas apenas se tocam na fronteira (aresta do cubo) e não se intersectam em volume no interior. Logo, não há sobreposição de volumes.
Passo 3
Somando os 8 oitantes (um de cada vértice), a parte total de esferas dentro do cubo é
O volume total do cubo é
Portanto, o volume da região do cubo que está fora de todas as esferas é