Determine a razão entre o volume da esfera inscrita e da esfera circunscrita a um cubo de aresta a.

Passo 1

O enunciado pede a razão entre o volume da esfera inscrita e da esfera circunscrita a um cubo de aresta a. Para isso, vamos usar a fórmula do volume de uma esfera
V = 43pi r^3
e determinar os raios das duas esferas em função de a.

Passo 2

A esfera inscrita tangencia cada face do cubo, então seu raio é
rins = a2
Logo, seu volume é
Vins = 43pil(a2r)^3 = pi a^36

Passo 3

A esfera circunscrita passa pelos vértices do cubo; a distância do centro do cubo a um vértice é
rcirc = araiz32
Portanto, seu volume é
Vcirc = 43pil(araiz32r)^3 = pi a^3,3raiz36

Passo 4

A razão entre os volumes é
VinsVcirc = pi a^36pi a^3,3raiz36 = 13raiz3 = raiz39

Resposta

13raiz3 (ou, equivalentemente, raiz39).

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