Calcular:
lim n infty 1raizn(1+1raiz2+ldots+1raizn).

Passo 1

O enunciado pede
limntoinfty1raiznsumk=1^n1raizk
Isso envolve aproximar a soma de k^-1/2 por uma integral de uma função decrescente. Vamos usar a técnica de comparação com integrais para funções positivas e decrescentes.

Passo 2

Note que f(x)=x^-1/2 é positiva e decrescente para x>=1. Assim vale a desigualdade de soma por integral:
integral1^nx^-1/2,dx ;<=; sumk=1^n1raizk ;<=; 1+integral1^nx^-1/2,dx

Passo 3

Calculemos a integral:
integral1^nx^-1/2,dx =2l(raizn-1r)
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2l(raizn-1r) ;<=; sumk=1^n1raizk ;<=; 1+2l(raizn-1r) =2raizn-1

Passo 4

Dividindo tudo por raizn, obtemos
2-2raizn ;<=; 1raiznsumk=1^n1raizk ;<=; 2-1raizn
Quando ntoinfty, tanto 2-2/raizn quanto 2-1/raizn tendem a 2. Pelo Teorema do Confronto, o limite da expressão central é 2.

Resposta

2

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