- Provar que se os números
e
satisfizerem as desigualdades
, verificar-se-á:
Passo 1
O enunciado diz que temos duas sequências reais decrescentes
e pede para mostrar a desigualdade de Chebyshev:
Para isso, vamos explorar o fato de que o produto de diferenças de termos munotônicos tem sinal não negativo.
Passo 2
Como ambas as sequências são decrescentes, para quaisquer
vale
De fato, se
então
e
, e se
ambos são
, logo o produto é sempre
.
Passo 3
Defina a soma dupla
Pelo que vimos em
Passo 4
Passo 5
Vamos expandir
:
Agora note que
e
Substituindo em
obtemos
Passo 6
Como
, temos
e, dividindo por 2,