• Provar que se os números e satisfizerem as desigualdades , verificar-se-á:

Passo 1

O enunciado diz que temos duas sequências reais decrescentes
a1>= a2>= cdots >= an, b1>= b2>= cdots >= bn,
e pede para mostrar a desigualdade de Chebyshev:
nsumi=1^naibi;>=;l(sumi=1^nair)l(sumi=1^nbir)
Para isso, vamos explorar o fato de que o produto de diferenças de termos munotônicos tem sinal não negativo.

Passo 2

Como ambas as sequências são decrescentes, para quaisquer i,j vale
(ai-aj)(bi-bj);>=;0
De fato, se i<j então ai-aj>=0 e bi-bj>=0, e se i>j ambos são <=0, logo o produto é sempre >=0.

Passo 3

Defina a soma dupla
T ;=;sumi=1^nsumj=1^n(ai-aj)(bi-bj)
Pelo que vimos em

Passo 4

T;>=;0

Passo 5

Vamos expandir T:
T &=sumi=1^nsumj=1^nl(aibi+ajbj-aibj-ajbir) &=sumi=1^nsumj=1^naibi +sumi=1^nsumj=1^najbj -sumi=1^nsumj=1^naibj -sumi=1^nsumj=1^najbi
Agora note que
sumi=1^nsumj=1^naibi =nsumi=1^naibi, sumi=1^nsumj=1^najbj =nsumj=1^najbj =nsumi=1^naibi,
e
sumi=1^nsumj=1^naibj =l(sumi=1^nair)l(sumj=1^nbjr), sumi=1^nsumj=1^najbi =l(sumj=1^najr)l(sumi=1^nbir)
Substituindo em T obtemos
T =2,nsumi=1^naibi -2l(sumi=1^nair)l(sumi=1^nbir)

Passo 6

Como T>=0, temos
2,nsumi=1^naibi ;>=; 2l(sumi=1^nair)l(sumi=1^nbir)
e, dividindo por 2,
nsumi=1^naibi ;>=; l(sumi=1^nair)l(sumi=1^nbir)

Resposta

nsumi=1^naibi ;>=; l(sumi=1^nair)l(sumi=1^nbir)

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